1) Un hombre desea cercar un campo rectangular y desea luego subdividirlo en parcelas rectangulares, colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. Si solo puede usar 1000m de alambre ¿Cuál es la máxima dimensión del campo?
Solución
Usando los datos del problema y el dibujo planteo dos ecuaciones
1. 1000=2X+4Y (las 2x representan las líneas azules y las 4y las líneas rojas)
2. A(x)=X.Y (base por altura, área del rectángulo)
Despejo y en 1.
1000-2X=4Y
(1000-2X):4=Y
250-1/2 X=Y (III)
Reemplazo en 2.
A(x)=X(250-1/2X)
A(x)=-1/2 X2 +250X
Derivo e igualo a cero
A’(X)= -X+250
0= -X+250
X=250
Ahora aplico segunda derivada, (en caso que tenga X reemplazo por la que obtuve). Si es positiva encontré el mínimo; si es negativa, el máximo (lo que busco en este caso)
A’’(X)=-1
Por lo tanto X=250 es máximo
Ahora reemplazo en (III)
250-1/2(250)=Y
250-125=Y
125=Y
Por último reemplazo X e Y en 1.
A(X)=250*125
A(X)=31.250
2)El perímetro de esta figura es 150 cm. Hallar el área máxima
Además del dibujo hay que tener en cuenta las siguientes formulas:
Perímetro del circulo=2.π.r
Área del círculo=π.r2
Planteo el problema como el anterior
150=8X+2Y+2.π.X2
A(X)=6X.Y+π.X2
2.π.X2 son los perímetros de los dos semicírculos
π.X2 sería el área de los dos semicírculos que al ser iguales forman uno
π=3,14
Despejo Y
150-8X-6,28X2=2Y
(150-8X-6,28X2):2=Y
-3,14 X2-4X+75=Y
Reemplazo en la segunda ecuación
A(X)=6X.(-3,14 X2-4X+75)+3,14X2
A(X)= -18,84X3-24X2+450X+3,14X2
A(X)= -18,84 X3-20,86X2+450X
Derivo e igualo a 0
A’(X)=-56,52X2-41,72x+450
0=-56,52X2-41,72x+450
(Acá hacen ustedes la cuadrática, yo pongo los resultados)
X1=-3,21
X2=2,47
Como hablamos de figuras hay que tomar en cuenta solo el valor positivo
Derivo nuevamente
A’’(X)=-113,04X-41,72
Como me quedo X en la segunda derivada reemplazo por la X positiva que obtuve
A’’(2,47)=-113,04.2,47-41,72
A’’(2,47)=-320,93
Al ser negativa la segunda derivada, X=2,47 es un máximo
Entonces reemplazo para obtener Y
-3,14 2,472-4.2,47+75=Y
45,96=Y
Reemplazo X e Y en la formula del área
A(X)=6*2,47*45,96+3,14*2,472
A(X)=690,37 cm2
Este es un aporte de Franco Di Benedetto.
Espero les sirva gente!
RR.
